Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 11 класс

В параллелограмме $ABCD$ угол $\angle B$ — тупой. Прямая $АD$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABC$, в точке $E\ne A$. Прямая $CD$ пересекает окружность $\omega$ в точке $F\ne C$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $DEF$ лежит на $\omega$.

Комментарий/решение

Из условия следует что $CD=CE$ и $AD=AF$ значит срединные перпендикуляры к $DE,FD$ пересекающиеся в точке $O$ (центр описанной окружности треугольника $DEF$) проходят через вершины $C,A$ соответственно, если $H,G$ середины $DE,DF$ то $DFOG$ вписанный или $\angle HOG = 180-\angle ABC$ откуда и следует утверждение.