Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1996 год


$m$ и $n$ — два натуральных числа и $n \leq m$. Докажите, что $$ {2^n} \leq \frac{{\left( {m + n} \right)!}}{{\left( {m - n} \right)!}} \leq {\left( {{m^2} + m} \right)^n}. $$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-11-04 16:06:55.0 #

$$ \frac{(m+n)!}{(m-n)!}=\prod_{k=1}^{2n}(m-n+k)=\prod_{k=1}^{n}(m-n+k)\prod_{k=n+1}^{2n}(m-n+k)=$$

$$ =\prod_{k=1}^{n} m\left(1-\frac{n-k}{m}\right) \prod_{k=n+1}^{2n} (m+1)\left(1-\frac{n-k+1}{m+1}\right)=$$

$$ =\prod_{k=1}^{n} m\prod_{k=1}^{n} \left(1-\frac{n-k}{m}\right) \prod_{k=n+1}^{2n} (m+1)\prod_{k=n+1}^{2n}\left(1-\frac{n-k+1}{m+1}\right)$$

$$\prod_{k=1}^{n} m=m^n \qquad \prod_{k=n+1}^{2n} (m+1)=(m+1)^n$$

$$ \frac{(m+n)!}{(m-n)!}=m^n(m+1)^n\prod_{k=1}^{n} \left(1-\frac{n-k}{m}\right) \prod_{k=n+1}^{2n}\left(1-\frac{n-k+1}{m+1}\right)\leq$$

$$\leq (m^2+m)^n=m^n(m+1)^n \Rightarrow$$

$$\prod_{k=1}^{n} \left(1-\frac{n-k}{m}\right) \prod_{k=n+1}^{2n}\left(1-\frac{n-k+1}{m+1}\right)\leq 1$$

$$ m \geq n \geq n-k \Rightarrow 1 \geq \frac{n-k}{m} \Rightarrow \left(1-\frac{n-k}{m}\right) \leq 1 \Rightarrow \prod_{k=1}^{n} \left(1-\frac{n-k}{m}\right) \leq 1$$

$$ m \geq n-k \Rightarrow m+1 \leq n-k+1 \Rightarrow 1 \leq \frac{n-k+1}{m+1} \Rightarrow\prod_{k=n+1}^{2n}\left(1-\frac{n-k+1}{m+1}\right)\leq 1$$

$$ $$

$$ \frac{(m+n)!}{(m-n)!}=\prod_{k=1}^{2n}(m-n+k)=\prod_{k=1}^{n}(m-n+2k-1)\prod_{k=1}^{n}(m-n+2k)=$$

$$ =\prod_{k=1}^{n}(m-n+2k-1)\prod_{k=1}^{n} 2 \left( \frac{m-n}{2} +k\right)=$$

$$=\prod_{k=1}^{n} 2\prod_{k=1}^{n}(m-n+2k-1)\prod_{k=1}^{n} \left( \frac{m-n}{2} +k\right)=$$

$$ = 2^n\prod_{k=1}^{n}(m-n+2k-1)\prod_{k=1}^{n} \left( \frac{m-n}{2} +k\right)\geq 2^n \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \prod_{k=1}^{n}(m-n+2k-1)\prod_{k=1}^{n} \left( \frac{m-n}{2} +k\right)\geq 1$$

$$ m \geq n \Rightarrow m-n\geq 0 \Rightarrow \prod_{k=1}^{n}(m-n+2k-1)\prod_{k=1}^{n} \left( \frac{m-n}{2} +k\right)\geq $$

$$ \geq \prod_{k=1}^{n}(2k-1)\prod_{k=1}^{n} k = n!\cdot1\cdot 3\cdot...\cdot (2n-1)>1$$