Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2004 год

Пусть $O$ является центром описанной окружности и $H$ — центром пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Докажите, что площадь одного из треугольников $AOH$, $BOH$ и $COH$ равна сумме площадей остальных двух.

Комментарий/решение

Найдя углы $OBH = B+2A-180^{\circ}, \ \angle OCH = 2A+C-180^{\circ}, \ \angle OAH=2C+A-180^{\circ}$ тогда

Если $R$ радиус , тогда $S_{OBH} + S_{OAH} - S_{OCH}=0$ тогда нужно показать что

$$BH \cdot \sin(2A+B)+AH \cdot \sin(2C+A) - CH \cdot \sin(2A+C) = 0$$ или

$$BH \cdot \sin(2A+B)+\dfrac{AH}{BH} \cdot \sin(2C+A) = \dfrac{CH}{BH} \cdot \sin(2A+C)$$

$$\sin(2A+B) \cdot \cos(B) + \sin(2C+A) - \cos(C) \cdot \sin(2A+C) =\sin(A+B+C) \cdot \cos(A+B-C) = 0$$

По прямой эйлера G(G-пересечения медиан) лежит на одной прямой между О и Н. По Б.О.О А находится по одну сторону от НО а В и С по другую. Проведем медиану АМ. Проведем Высоты $ММ_1 , AA_1, CC_1 , BB_1$ на НО. Так как $\frac{GM}{AG}=2$ отсюда по подобности $AA_1=MM_1*2$ но у нас же М это средняя линия в трапеции $BB_1CC_1$ отсюда $BB_1+CC_1=MM_1*2=AA_1$