Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2008 год


Пусть $\Gamma$ — описанная окружность треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через точки $A$ и $C$ пересекает стороны $BC$ и $BA$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямые $AD$ и $CE$ повторно пересекает $\Gamma$ в точках $G$ и $H$ соответственно. Касательные к $\Gamma$ в точках $A$ и $C$ пересекают прямую $DE$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Доказать, что прямые $LH$ и $MG$ пересекаются на $\Gamma$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2021-07-17 05:08:02.0 #

Известная лемма: При инверсии прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Решение:

1) Пусть $AEDC$ вписанный четырехугольник и пусть $I \in AD \cap EC$, тогда рассмотрим инверсию прямой $AD$ относительно данной окружности, по лемме она переходит в окружность $\omega _{1}$ проходящей через $AOD$, аналогично рассмотрим прямую $CE$ она переходит $\omega_{2}$ проходящей через $EOC$ пусть $F \in \omega_{1} \cap \omega_{2}$ тогда $I$ переходит в $F$ значит $F,I,O$ лежат на одной прямой, так же пусть $L \in DE \cap \omega_{1}, \ M \in DE \cap \omega_{2}$ тогда $LO, MO$ по построению биссектрисы $\angle ALD, \angle CME$ соответственно, и $\angle ACE = \angle EDA = \angle LOA$ но $\angle AOE = 2\angle ACE$ то есть $\angle AOL = \angle LOE$ значит $LE = LA$ аналогично $MD=MC$ тогда $\angle AFC = \angle AFO + \angle CFO = \angle ALO + \angle CMO = 90^{\circ} - \angle ACD + 90^{\circ} - \angle EAC = 180^{\circ} - \angle ACD - \angle EAC $ тогда если $B \in AE \cap CD$ то $ABFC$ вписанный .

2) С другой стороны $ \angle CHG = \angle CAD = \angle HEM $ значит $HG || LM$, тогда пусть на $\Gamma$ взята произвольная точка $F'$ пусть $M' \in FH' \cap DE$ тогда $\angle GAF' = \angle GHF ' = \angle DM'F'$ из-за параллельности, значит $F'DAM'$ лежат на одной окружности, аналогично и со вторым.

3) объединяя 1 и 2 получаем $L'=L, \ F'=F, \ M'=M$ то есть $F \in \Gamma$