Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2011 год


Пусть $a,b,c$ — целые положительные числа. Докажите, что числа $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ не могут быть одновременно квадратами целых чисел.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
2020-03-25 23:25:03.0 #

$a\ge b\ge c$ деп алсақ, жалпылыққа әсер етпейді. $a^2<a^2+b+c\le a^2+2a<(a+1)^2$.

Тізбектес екі бүтін санның квадраттарының арасында басқа бүтін санның квадраты болмайды.

пред. Правка 2   8
2023-02-27 15:05:57.0 #

$a^2+b+c\geq (a+1)^2 \Rightarrow b+c\geq 2a+1$ аналогично делаем с другими тогда получается неравенство

$2(a+b+c)\geq 2(a+b+c)+3$ что означае невозможно

  2
2023-03-27 12:04:18.0 #

Допустим можно:

$a^2+b+c=k^2$

$b^2+a+c=l^2$

$c^2+a+b=m^2$

$k \geq a+1, l \geq b+1, m \geq c+1 $

$a^2+b^2+c^2+3+2(a+b+c)=k^2+l^2+m^2+3 \geq (a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2+3$

$(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=k^2+l^2+m^2+3 \geq (a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2+3 \rightarrow \varnothing$

Ч.Т.Д.

пред. Правка 2   3
2023-03-27 18:48:35.0 #

хорошая решения

  2
2023-03-27 15:21:02.0 #

0 не входит в целые положительные или я ошибаюсь?

пред. Правка 2   8
2023-05-30 14:17:11.0 #

Допустим,что $a \geq b\geq c$

$a^2+b+c \geq (a+1)^2$

$b^2+a+c \geq (b+1)^2$

$c^2+a+b \geq (c+1)^2$

Значит,$b+c \geq 2a+1$

$a+c \geq 2b+1$

$a+b \geq 2c+1$,но из этого следует что $2a+2b+2c \geq 2a+2b+2c+3$,что является противоречием.

  7
2023-06-28 03:21:10.0 #

Уважаемый Абдулах но решение AlikhanSerik чуть выше вашего точно такое же как у вас написаное ранее прошу заметить.

  2
2023-06-28 11:08:33.0 #

Уважаемый, Бекжан но многие ваши решения 1 в 1 как предыдущие. Так что я не думаю что стоит к этому прикапыватся

  6
2023-06-28 14:28:21.0 #

Прошу прощения.Просто сказал в форте по дружески.

пред. Правка 2   1
2024-01-31 09:00:06.0 #

пред. Правка 3   0
2024-04-19 21:13:33.0 #

Пусть $a>=b>=c$. Тогда $a^2+2a+1>a^2+b+c>a^2$, тогда корень этого числа должен быть целым и в промежутке $a<x<a+1$. Противоречие