Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2012 год

Пусть $P$ — является внутренней точкой треугольника $ABC$, а $D$, $E$ и $F$ — точки пересечения прямой $AP$ и стороны $BC$ треугольника, прямой $BP$ и стороны $CA$, прямой $CP$ и стороны $AB$, соответственно. Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна 6, если площадь каждого треугольника $PFA$, $PDB$ и $PEC$ равна 1.

Комментарий/решение

Пусть $[PCD] = x, [PAE] = y, [PBF] = z$. По теореме Чевы $xyz = 1$. Также $\frac{CP}{PF} = \frac{x+1}{z} = y+1$, поэтому $x+1 = yz + z$ (аналогично $y+1 = zx + x$ и $z+1 = xy+y$). Если $x = 1$, то мы можем получить $x=y=z=1$. В противном случае WLOG $x > 1$ и $y, z < 1$ или $x < 1$ и $y, z > 1$. В первом случае $2 < x+1 = yz+z < 2$, а во втором $2 > x + 1 = yz + z > 2$, противоречие.