XI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2012 год

Трапеция $ABCD$, где $BC||AD$, вписана в окружность, $E$ — середина дуги $AD$ этой окружности, не содержащей точку $C$. Пусть $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из $E$ на прямую, касающуюся окружности в точке $C$. Докажите, что $BC=2CF$. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Из условия следует что трапеция равнобедренная , пусть $N$ - середина $BC$ , тогда $EN \perp BC$, так как $E$ - середина дуги $AD$, получим $\angle ACE = \angle ECD $ , учитывая что $\angle DCF = \angle CAD = \angle ACB$ , Следует что треугольники $BCN$ И $ECF$ равны по двум углам и общей стороне $CE$ , значит $BN = CF $ откуда $BC=2CF$.