Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, I тур заключительного этапа

Имеются три литровых банки и мерка объемом 100 мл. Первая банка пуста, во второй — 700 мл сладкого чая, в третьей — 800 мл сладкого чая. При этом во второй банке растворено 50 г сахара, а в третьей — 60 г сахара. Разрешается набрать из любой банки полную мерку чая и перелить весь этот чай в любую другую банку. Можно ли несколькими такими переливаниями добиться, чтобы первая банка была пуста, а количество сахара во второй банке равнялось количеству сахара в третьей банке? ( В. Шевяков )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нельзя.
Решение. Исходная концентрация сахара во второй банке составляет $50/700 = 1/14$, а в третьей — $60/800 = 3/40$. Поскольку $3/40 > 1/14$, после любых переливаний концентрация сахара в каждой непустой банке будет не больше 3/40. Заметим, что по условию после любых переливаний количество чая в каждой банке кратно 100 мл. Поэтому если весь чай оказался во второй и третьей банках, то в одной из них его не больше 700 мл. Допустим, в ней оказалась половина всего сахара. Тогда его концентрация в ней не меньше, чем $55/700 = 11/140 > 3/40$, что невозможно.