Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 8 класс

Если число $2^m + 3^n$ делится на 5, то докажите, что число $2^n + 3^m$ также делится на 5.

Комментарий/решение

Рассмотрим остатки степеней при делении на 5.

$2^n \equiv \left\{\begin{array}{rl} 2, & n=4k+1; \\ 4, & n=4k+2; \\3, & n=4k+3;\\1, & n=4k+4. \end{array} \right \} \pmod{5}$

$3^n \equiv \left\{\begin{array}{rl} 3, & n=4k+1; \\ 4, & n=4k+2; \\2, & n=4k+3;\\1, & n=4k+4. \end{array} \right \} \pmod{5}$

Откуда видно, что при замене показателей степеней сумма остатков не изменится.