Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур заключительного этапа

Существуют ли такие различные натуральные числа $a$, $b$ и $c$, что число $a+1/a$ равно полусумме чисел $b+1/b$ и $c+1/c$? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Допустим, такие числа нашлись. Заметим, что если $m$ и $n$ — натуральные числа и $m < n$, то $m+1/m \leq m+1 \leq n< n+1/n$. Поэтому мы (поменяв, если нужно, местами числа $b$ и $c$) можем считать, что $b < a < c$. Перепишем условие в виде $(a - b)+(1/a - 1/b) = (c - a)+(1/c - 1/a)$. Поскольку каждое из чисел $1/a - 1/b$ и $1/c - 1/a$ отрицательно и больше $-1$, а числа $a- b$ и $c- a$ — целые, имеем $a -b = c- a$ и $1/a- 1/b = 1/c- 1/a$. Поделив первое из этих двух уравнений на второе, получим $-ab = - ac$, откуда $b = c$ — противоречие.