Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, II тур заключительного этапа

В гандболе за победу дают 2 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков.14 гандбольных команд провели турнир, где каждая команда с каждой сыграла по одному разу. Оказалось, что никакие две команды не набрали поровну очков. Могло ли случиться, что каждая из команд, занявших первые три места, проиграла каждой из команд, занявших последние три места? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Не могло.
Решение. Пусть могло. Покажем, что лучшая из трех последних команд набрала не меньше 9 очков. В самом деле, три последних команды в играх между собой разыграли 6 очков, да ещё 18 очков отобрали у трех первых. Поэтому вместе они набрали не меньше 24 очков, и если каждая из них набрала не больше 8 очков, то все три набрали ровно по 8 очков, что противоречит условию задачи. Аналогичным рассмотрением очков, потерянных первыми тремя командами, доказывается, что худшая из трех первых команд потеряла не меньше 9 очков, то есть набрала не больше $26 -9 = 17$ очков. Получается, что каждая из восьми команд, занявших места с 11-го по 4-ое, набрала не меньше 10 и не больше 16 очков. Но в этом промежутке только 7 целых чисел, и выходит, что какие-то две команды набрали поровну очков. Противоречие.