Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, I тур заключительного этапа

У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов, и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше, чем Мумбо. Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение? ( М. Евдокимов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 26 км/ч.
Решение. Обозначим место обитания племени Мумбо-Юмбо через $O$, хранилище, к которому побежал Мумбо, через $M$, а хранилище, к которому пошел Юмбо, через $U$. Очевидно, что $M$ находится выше по течению, чем $O$, а $U$ ниже. Пусть расстояния от $O$ до $M$ и $U$ равны $x$ и $y$ км соответственно $(x < y)$, скорость реки равна $v$ км/ч. На путь от $O$ до $U$ Юмбо затратил $y/6$ часов, а Мумбо $x/11+(x+y)/v$ часов. Ясно, что в соседнее племя Юмбо приплывает раньше Мумбо тогда и только тогда, когда $y/6 < x/11+(x+y)/v$. Так как $x < y$, из этого неравенства следует, что $y/6 < y/11+(y+y)/v$. Сократив на $y$ и преобразовав, получаем $v < 26,\!4$.
Осталось проверить, что скорость реки могла равняться 26 км/ч. Для этого в неравенстве $y/6 < x/11+(x+y)/v$ положим $v = 26$ и равносильно преобразуем его к виду $y/x < 111/110$. Последнее возможно (например, при $y = 1,\!12$ км, $x = 1,\!11$ км), что и завершает решение.