Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, I тур регионального этапа

На отрезке $AB$ отмечена точка $M$. Точки $P$ и $Q $ — середины отрезков $AM$ и $BM$ соответственно, точка $O$ — середина отрезка $PQ$. Выберем точку $C$ так, чтобы угол $ACB$ был прямым. Пусть $MD$ и $ME$ — перпендикуляры, опущенные из точки $M$ на прямые $CA$ и $CB$, а $F$ — середина отрезка $DE$. Докажите, что длина отрезка $OF$ не зависит от выбора точки $C$. ( Р. Женодаров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Заметим, что $CDME$ — прямоугольник. Его диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому точка $F$ является серединой отрезка $CM$. Далее, отрезки $PF$ и $FQ$ — средние линии треугольников $ACM$ и $BCM$ соответственно. Значит, они параллельны взаимно перпендикулярным отрезкам $AC$ и $CB$, то есть угол $PFQ$ — прямой. Наконец, $FO$ — медиана в прямоугольном треугольнике $PFQ$, проведённая к гипотенузе $PQ$. Так как точки $P$ и $Q$ фиксированы, длина $FO = PQ/2$ не зависит от выбора точки $C$, что и требовалось доказать.