Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, I тур регионального этапа

На пути в музей группа детсадовцев построилась парами, причём количество пар из двух мальчиков было в три раза больше количества пар из двух девочек. На обратном пути та же группа построилась так, что количество пар из двух мальчиков было в четыре раза больше количества пар из двух девочек. Докажите, что эту же группу можно построить так, чтобы количество пар из двух мальчиков было в семь раз больше количества пар из двух девочек. ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть количество пар девочек на пути в музей было $a$, а на обратном пути — $b$. Значит, количества пар мальчиков на пути туда и обратно были равны $3a$ и $4b$ соответственно. Поскольку каждая из остальных пар состояла из мальчика и девочки, разность между количествами пар мальчиков и девочек составляет $3a-a = 4b-b$, откуда $2a = 3b$, и $b$ делится на 2, то есть $b = 2c$ при некотором целом $c$.
Рассмотрим теперь ситуацию на пути обратно, выберем в ней $c$ пар мальчиков и $c$ пар девочек и перестроим их в разнополые пары. Останется $c$ пар девочек и $7c$ пар мальчиков, что и требовалось.