Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

$ABC$ үшбұрышында $AB$ мен $BC$ қабырғалары тең. $CA$, $AB$ және $BC$ сәулелерінде $AD=AC$, $BE=BA$, $CF=CB$ болатындай сәйкесінше $D$, $E$ және $F$ нүктелері белгіленген. $ADB$, $BEC$ және $CFA$ бұрыштарының қосындысын табыңыз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $90^\circ$.
Решение. Положим $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Треугольники $BAD$ и $FCA$ равны ($AD = CA$, $BA = BC = FC$, $\angle BAD = 180^\circ-\alpha = \angle FCA$). Поэтому $$\angle CFA+ \angle ADB = \angle ABD+ \angle ADB = \alpha \quad (1).$$ С другой стороны, $EB = BA = BC$, откуда $180^\circ-2\alpha = \angle ABC = 2 \angle BEC$ и $\angle BEC = 90^\circ-\alpha$. Складывая это равенство с равенством (1), получаем ответ.