Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

48 бөлшектің алымы да бөлімі де $2$, $3$, $\ldots$, $49$ сандарынан тұрады, және де осы сандардың әрқайсысы алымда да бөлімде де кездеседі. Осы бөлшектердің ішінде бүтін бөлшек немесе барлық саны 25-тен көп емес және көбейтіндісі бүтін болатын бөлшектер табылатынын дәлелде.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Рассмотрим дробь $a_1/2$ со знаменателем 2. Если $a_1$ четно, то мы уже получили целое число. В противном случае умножим $a_1/2$ на дробь $a_2/a_1$, результат — на дробь $a_3/a_2$ и так до тех пор, пока очередной числитель $a_n$ не станет чётным (такое когда-то случится, потому что числители не могут повторяться). После этого в произведении получится целое число $a_n/2$. Поскольку различных нечётных знаменателей у нас 24, мы перемножили не больше 25 дробей.