Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Дан пятиугольник $ABCDE$ такой, что $AB = BC = CD = DE$, $\angle B=96^\circ $ $\angle C= \angle D=108^\circ $. Найдите $\angle E$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $102^\circ$.
Решение. Проведем отрезки $BD$ и $CE$. Пусть они пересекаются в точке $O$. Заметим, что треугольники $BCD$ и $CDE$ равнобедренные с углом $108^\circ$ при вершине, а значит, углы при основании равны $36^\circ$ (они отмечены на рисунке одной дугой). Тогда $\angle BCE = \angle BDE = 72^\circ$. Угол $COD$ равен $108^\circ$ (т.к. в треугольнике $COD$ два угла по $36^\circ$). Поэтому $\angle COB = 180^\circ-108^\circ = 72^\circ $. Углы по $72^\circ$ отмечены на рисунке двумя дугами. Получаем, что треугольники $CBO$ и $DEO$ равнобедренные. Значит, $AB = BO =BC = CD = DE = EO = x$. Заметим, что $\angle OBA = 96^\circ -36^\circ = 60^\circ $. Значит, треугольник $OBA$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, т.е. равносторонний. Поэтому $AO = x$. Вычислим угол $AOE$ $\angle AOE = \angle EOB- \angle AOB = 108^\circ -60^\circ = 48^\circ $. Треугольник $AOE$ равнобедренный с углом $48^\circ$ при вершине. Поэтому $\angle OEA = (180^\circ -48^\circ )/2 = 66^\circ $. Получаем, что угол $E$ пятиугольника равен $\angle AED = \angle AEO+ \angle OED = 66^\circ +36^\circ = 102^\circ$.