Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, III тур дистанционного этапа

В футбольном турнире, где каждая команда по одному разу сыграла с каждой, участвовали команды А, Б, В, Г, Д и Е. За победу команда получала 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0. В итоге оказалось, что команды А, Б, В, Г и Д набрали по 7 очков. Какое наибольшее количество очков могла набрать команда Е?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 7 очков.
Решение. В матче, где одна из команд победила, команды вместе набирают 3 очка, в матче, закончившемся вничью — 2 очка. Поскольку 7 не делится на 3, команда, набравшая 7 очков, сделала хотя бы одну ничью. Так как таких команд пять, ничьих в турнире было сделано по крайней мере три. Всего матчей, как легко проверить, было сыграно 15. Поэтому все команды вместе набрали не больше, чем $2 \cdot 3+3 \cdot 12 = 42$ очка. Из них 35 очков набрали команды А, Б, В, Г и Д. Поэтому команда E набрала не больше $42-35 = 7$ очков. Как она могла набрать ровно 7 очков, показано в таблице внизу.