Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Петя нашёл сумму всех нечётных делителей некоторого чётного числа, а Вася — сумму всех чётных делителей этого числа. Могло ли произведение этих двух сумм оказаться квадратом натурального числа?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Запишем исходное чётное число в виде $N = 2n(2m+1)$. Ясно что сумма всех нечётных делителей данного числа равна сумме всех делителей числа $2m+1$. Обозначим эту сумму через $S$. Тогда сумму всех чётных делителей числа $N$ равняется $2S+4S+\dots+2^nS$, а произведение суммы всех чётных делителей на сумму всех нечётных делителей равно $S^2(2+4+\dots+2^n)$. Для того, чтобы это произведение было квадратом, необходимо, чтобы квадратом была сумма, стоящая в скобках. Но эта сумма делится на 2 и не делится на 4.