Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, IV тур дистанционного этапа


Вот четыре свойства четырёхугольников:
(1) противоположные стороны попарно равны;
(2) две противоположных стороны параллельны;
(3) какие-то две соседние стороны равны;
(4) диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения в одном и том же отношении.
Один из двух данных четырёхугольников обладает какими-то двумя из этих свойств, другой — двумя остальными. Докажите, что один из этих двух четырёхугольников — ромб.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Нетрудно проверить, что четырехугольники со свойствами ${(1)+(3)}$, либо ${(3)+(4)}$, либо ${(1)+(4)}$ — ромбы (в работах участников это, разумеется, должно быть доказано). Осталось заметить, что при любом разбиении данных четырех свойств на две пары среди пар будет присутствовать одна из трёх перечисленных выше.