Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Каждая из сторон треугольника разбита на 2008 равных частей. Через каждую точку деления проведены прямые, параллельные двум другим сторонам, в результате чего треугольник разбился на равные треугольные поля. Строкой будем называть ряд полей, заключенных между двумя соседними параллельными прямыми, либо единственное поле, стоящее при вершине треугольника. Петя и Вася ставят по очереди в одно из свободных полей $1$ либо $-1$. После того, как все клетки оказываются занятыми, в каждой из строк подсчитывается произведение. Петя выигрывает, если отрицательных произведений четное число, иначе выигрывает Вася. Кто выиграет при правильной игре, если первым ходит Петя?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Выиграет Вася.
Решение. Заметим, что в треугольнике четное число полей и, значит, последним ходит Вася. Своим последним ходом он всегда может сделать так, чтобы произведение всех записанных чисел было равно $-1$. Покажем, что этого достаточно для его победы. Перемножим все числа, стоящие в строках, параллельных одной из сторон треугольника. Полученное произведение равно произведению всех чисел в треугольнике и равно $-1$, следовательно, строк с отрицательными произведениями, среди рассмотренных, нечетное число. Рассматривая аналогично строки, параллельные другим двум сторонам, получаем, что всего с отрицательными произведениями нечетное количество строк. Значит, Вася выигрывает.