Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, I тур дистанционного этапа

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ $(AC = BC)$. На сторонах $BC$, $AC$, $AB$ отмечены точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Оказалось, что $C_1B_1$ перпендикулярно $AC$, $B_1A_1$ перпендикулярно $BC$ и $B_1A_1 = B_1C_1$. Докажите, что $A_1C_1$ перпендикулярно $AB$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $\angle A = \angle B = \alpha$. Тогда $\angle C = \pi-2\alpha$. Треугольник $CA_1B_1$ прямоугольный, значит, $\angle CB_1A_1 = \pi/2-(\pi-2\alpha) = 2\alpha -\pi$. Тогда $\angle A_1B_1C_1 = \pi/2-(2\alpha -\pi/2) = \pi-2\alpha$. Так как $B_1A_1 = B_1C_1$, $\angle B_1C_1A_1 = \angle B_1A_1C_1 = \alpha$. Значит, $\angle AC_1A_1 = \angle AC_1B+\angle BC_1A_1 = (\pi/2-\alpha)+ \alpha = \pi/2$, то есть, $A_1C_1$ перпендикулярно $AB$.