Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс


Существует ли такая бесконечная последовательность целых положительных чисел $(a_n)$, что для каждого $n\geq 1$ выполняется соотношение $a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+a_n$? ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
2018-03-25 12:36:24.0 #

$$\left\{ \begin{gathered} a_3-a_1=\sqrt{a_2}\\ a_4-a_2=\sqrt{a_3}\\ a_5-a_3= \sqrt{a_4} \\ a_6-a_4=\sqrt{a_5}\\ a_7-a_5=\sqrt{a_6}\\ a_8-a_6=\sqrt{a_7}\\.........\\ a_{k+2}-a_k=\sqrt{a_{k+1}} \\ a_{k+3}-a_{k+1}=\sqrt{a_{k+2}}\\ ...........\end{gathered} \right. \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow \sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+...+\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_{k+2}}+...=-\left( a_1+a_2\right) $$

$$\left\{ \begin{gathered} \sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+...+\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_{k+2}}+...>0 \\ -(a_1+a_2) < 0 \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ a_n \right\} _{n=1}^\infty = \emptyset $$

Ответ: такой последовательности не существует.