Albania


Задача №1.  Найдите все пары натуральных чисел $ (x,y)$, для которых справедливо равенство $x^y = y^{x - y}.$ ( Albania )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Полуокружность с диаметром $EF$ расположена на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что она касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых $EP$ и $FQ$ лежит на высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $A$. ( Albania )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Найдите все тройки действительных чисел $(a,b,c)$ удовлетворяющие условиям $$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}, \\a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.\end{cases}$$ ( Albania )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  Найдите все пары простых чисел $(p,q)$ для которых число $1 + \frac{p^q - q^p}{p + q} $ также простое число. ( Albania )
комментарий/решение(1) олимпиада