қазақша
русскийКим А.
Задача №1. На плоскости выбраны 101 синяя и 101 красная точка, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сумма попарных расстояний между красными точками равна 1 (то есть сумма длин отрезков с концами в красных точках), сумма попарных расстояний между синими тоже равна 1, а сумма длин отрезков с концами разных цветов равна 400. Докажите, что можно провести прямую, отделяющую все красные точки от всех синих. ( Ким А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. На плоскости выбраны 101 синяя и 101 красная точка, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сумма попарных расстояний между красными точками равна 1 (то есть сумма длин отрезков с концами в красных точках), сумма попарных расстояний между синими тоже равна 1, а сумма длин отрезков с концами разных цветов равна 400. Докажите, что можно провести прямую, отделяющую все красные точки от всех синих. ( Ким А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Решите уравнение $n!+10^{2014}=m^4$ в натуральных числах $m$ и $n$. ( Ким А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №4. Даны действительные числа $a,b,c > 1$. Докажите неравенство $a^a + b^b +c^c \geq a^b+b^c+c^a.$ ( Ким А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №5. На доске написаны натуральные числа ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ (не обязательно различные). За ход разрешается стереть любые два числа, и записать вместо них НОД и НОК стертых чисел, при условии, что НОД и НОК не совпадают со стертыми числами. Докажите, что количество возможных операции конечно и то, что результат (как множество чисел) не зависит от последовательности операции. ( Ким А. )
комментарий/решение олимпиада