А. Васильев

Есеп №1. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық рационал $a$ сандарын табыңыздар: $\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ теңдеуінің рационал $x$ шешуі болмайтындай, шексіз көп оң рационал $q$ саны бар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №2. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық рационал $a$ сандарын табыңыздар: $\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ теңдеуінің рационал $x$ шешуі болмайтындай, шексіз көп оң рационал $q$ саны бар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №3. Кез келген натурал $n$ үшін, ${{F}_{n}}-p\left( n \right)$ саны $m$-ге бөлінетіндей, $m\ge 2$ натурал саны және коэффициенттері бүтін болатын $p\left( x \right)$ көпмүшесі табылады ма? Бұл жерде $\left( {{F}_{n}} \right)$ — келесі шарттармен анықталатын Фибоначчи тізбегі: ${{F}_{1}}={{F}_{2}}=1$ және барлық натурал $n$ үшін \[{{F}_{n+2}}={{F}_{n+1}}+{{F}_{n}}.\] ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №4. Кез келген натурал $n$ саны үшін, $\left[ n-4\sqrt{n}, n+4\sqrt{n} \right]$ кесіндісінде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ түрінде келетін сан табылатынын дәлелде, бұл жерде $x$ пен $y$ — теріс емес бүтін сандар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5. $\mathbb{Q} $ арқылы барлық рационал сандар жиынын белгілейік. Кез келген рационал $x$, $y$, $z$ сандары үшін $$f\left( x,y \right)+f\left( y,z \right)+f\left( z,x \right)=f\left( 0,x+y+z \right)$$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ функцияларын табыңдар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Кез келген натурал $n$ саны үшін, $\left[ n-4\sqrt{n}, n+4\sqrt{n} \right]$ кесіндісінде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ түрінде келетін сан табылатынын дәлелде, бұл жерде $x$ пен $y$ — теріс емес бүтін сандар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №7. а) «Кез келген рационал санды, көбейтінділері 1-ге тең болатын бірнеше рационал сандардың қосындысы ретінде келтіруге болады» деген тұжырым рас па?
б) «Кез келген рационал санды, қосындылары 1-ге тең болатын бірнеше рационал сандардың көбейтіндісі ретінде келтіруге болады» деген тұжырым рас па? ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №8. $PQ$ түзуі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберді жанайды, $P$ және $Q$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларында жатыр. $AB$ және $AC$ қабырғаларынан, $AM=BP$ және $AN=CQ$ болатындай етіп, сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. Осылайша алынған $MN$ түзулерінің бәрі бір нүктеден өтетінін дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9. $1\underbrace{33\ldots3}_{ k\text{ рет}}$ түрінде жазылған жай сан үшін ($k$ > 1), ${{k}^{2}}-2k+3$ саны 6-ға бөлінетін дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №10. ${{\omega }_{1}}$, ${{\omega }_{2}}$, ${{\omega }_{3}}$ — ауданы $S$-қа тең ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}$ үшбұрышының сырттан іштей сызылған шең-берлері. ${{\omega }_{1}}$ шеңбері ${{A}_{2}}{{A}_{3}}$ қабырғасын ${{B}_{1}}$ нүктесінде (және ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ мен ${{A}_{1}}{{A}_{3}}$ қабырғала-рын) жанайды. ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ түзуі ${{\omega }_{1}}$ шеңберін ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерінде қиып өтеді. ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{C}_{1}}{{A}_{3}}$ төртбұрышының ауданын ${{S}_{1}}$-деп белгілейік. Осыған ұқсас жолмен ${{S}_{2}}$ және ${{S}_{3}}$ сандарын анықтаймыз. $\dfrac{1}{S}\le \dfrac{1}{{{S}_{1}}}+\dfrac{1}{{{S}_{2}}}+\dfrac{1}{{{S}_{3}}}$ болатынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №11. $p+\sqrt{{{q}^{2}}+r}=\sqrt{{{s}^{2}}+t}$ теңдеуін жай сандар жиынында шешіңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №12. Бөлгіштерінің арифметикалық және геометриялық орталары бір мезгілде бүтін сандар болатын шексіз көп натурал сандарының табылатынын дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №13. Бөлгіштерінің арифметикалық және геометриялық орталары бір мезгілде бүтін сандар болатын шексіз көп натурал сандарының табылатынын дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №14. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған, центрі $I$ болатын шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше ${{C}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелерінде жанайды. $M$ нүктесі ${{C}_{1}}{{B}_{1}}$ кесіндісін ${{C}_{1}}$-ден бастап өлшегенде $3:1$ қатынасында бөледі. $N$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы. Егер $AC=3\left( BC-AB \right)$ екені белгілі болса, $I,M,{{B}_{1}},N$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №15. Натурал $n$ саны берілген. ${{x}^{2}}-ax+2n=0$ квадраттық теңдеуінің бір түбірі $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n}}$ санына тең болса, $2\sqrt{2n}\le a\le 3\sqrt{n}$ теңсіздігін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №16. Жыл саны деп ондық жазбасы тек қана $0, 1, 2$ цифрларынан құралған кез келген бүтін оң санды айтайық. $A^2 + B$ түрінде келтіруге болмайтын шексіз көп натурал сан табылатынын дәлелдеңдер, мұндағы $A$ — бүтін сан, ал $B$ — жыл саны. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №17. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрін $O$ деп белгілейік. $A$ төбесінен $BC$ табанына түсірілген биіктіктің табаны $D$ нүктесі болсын, ал $AD$ және $CO$ түзулерінің қиылысу нүктесі $E$ болсын. $M$ нүктесі — $AE$ кесіндісінің ортасы, ал $F$ нүктесі — $C$-дан $AO$-ға түсірілген перпендикулярдың табаны. $OM$ және $BC$ түзулерінің қиылысу нүктесі $BOF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің үстінде жататынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №18. Жыл саны деп ондық жазбасы тек қана $0, 1, 2$ цифрларынан құралған кез келген бүтін оң санды айтайық. $A^2 + B$ түрінде келтіруге болмайтын шексіз көп натурал сан табылатынын дәлелдеңдер, мұндағы $A$ — бүтін сан, ал $B$ — жыл саны. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №19. Оң нақты $A$ саны берілген. Келесі теңсіздік кез келген нақты оң $x,y$ сандары үшін орындалатындай $$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{A}{x+y} \ge \dfrac{M}{\sqrt{xy}}$$ $M$ нақты санының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №20. $ABC$ үшбұрышының $B$ нүктесінен өтетін $\omega$ шеңбері $AC$ қабырғасын $D$ нүктесінде жанап, $AB$ және $BC$ қабырғаларын $P$ және $Q$ нүктелерінде сәйкесінше қиып өтеді. $PQ$ түзуі $BD$ түзуін $M$ нүктесінде, ал $AC$ түзуін $N$ нүктесінде қияды. $DMN$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбері және $B$ нүктесінен өтетін әрі $PQ$ түзуін $M$нүктесінде жанайтын шеңбер және $\omega$ шеңберлері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №21. Кез келген $1\le a\le b\le c\le d\le e\le f$ нақты сандары үшін $$(af+be+cd)(af+bd+ce)\le (a+{{b}^{2}}+{{c}^{3}})(d+{{e}^{2}}+{{f}^{3}})$$ теңсіздігін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №22. Бүтін сандардан тұратын $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ тізбегі барлық натурал $n$ үшін ${{a}_{n+2}}=a_{n+1}^{2}+{{a}_{n}}$ қатынасын қанағаттандырады. Онда қандай да бір $m > 1$ натурал саны үшін $a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+\ldots +a_{m}^{3}$ саны 2004-ке бөлінетінін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №23. Сүйірбүрышты $ABC$ үшбұрышында $\angle ABC=2\angle ACB$ және $O$ — оған сыртгай сызылған шеңбердің центрі. $K$ — $AO$ мен $BC$-ның қиылысу нүктесі, ал ${{O}_{1}}$ нүктесі — $ACK$ үшбұрышына сырттай сызызылған шеңбердің центрі. Онда $AKC{{O}_{1}}$ төртбұрышының ауданы $ABC$ үшбұрышының ауданына тең екенін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №24. Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ трапециясында $BC \parallel AD$. Осы шеңбердің ($C$ нүктесі жатпайтын) $AD$ доғасының ортасын $E$ деп белгілейік. $E$ нүктесінен шеңбердің $C$ нүктесі арқылы өтетін жанамасына түсірілген перпендикулярдың табанын $F$ деп белгілейік. $BC=2CF$ теңдігін дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №25. Натурал $a,b,c,d$ сандары мынадай: $d$ саны ${{a}^{2b}}+c$ санын қалдықсыз бөледі және $d\ge a+c$. Онда $d\ge a+\sqrt[2b]{a}$ екенін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №26. Қандай ең кіші $n$ үшін $\left( n > 1 \right)$ мынадай ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ натурал сандары табылатынын анықта ${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}} \right)}^{2}}-1$ саны $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}$ санына қалдықсыз бөлінеді. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №27. Кез келген оң бүтін n үшін $\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$ сандарының арифметикалық ортасы $\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$ аралығында жататынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №28. $p-q+r=\sqrt{p+q+r}$ шартын қанағаттандыратын барлық $(p,q,r)$ жай сандардың үштіктерін табыңыз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(11) олимпиада

Есеп №29. $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасынан $AB\cdot AD=CB\cdot CD$ болатындай $D$ нүктесі алынған. $M$ нүктесі $BD$ кесіндісінің ортасы. Егер $\angle AMC=90^\circ$ болса, онда $\angle CAM+\angle BCM=\angle ACM+\angle BAM$ теңдігін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №30. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған. $BC$ қабырғасынан $K$ нүктесі алынып, одан $AB$ және $AC$ қабырғаларына сәйкесінше $KF$ және $KG$ перпендикулярлары түсірілген. $AO$ түзуі $KG$ және $KF$ түзулерін сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $BD\parallel CE$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №31. Қандай оң рационал сандарды $\dfrac{x^{20} y^{23}} {z^{2024}}$ түрінде жазуға болады, мұнда $x,y,z$ натурал сандар? ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №32. $x^2+y^2+z^2+xyz$ түрінде жазуға болмайтын шексіз көп бүтін сандар табылатынын дәлелдеңіз, мұнда $x,y,z$ бүтін сандар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №33. $x,y,t$ натурал сандары $x^2+257=y^t$ және $2\le t\le 48$ шарттарын қанағаттандырады. $t$ жай сан екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(8) олимпиада

Есеп №34. Кейбір $m$ және $n$ бүтін сандары үшін $p={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ және $p|{{m}^{3}}+{{n}^{3}}-4$ шарттарын қанағаттандыратын барлық $p$ жай сандарын тап. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №35. Тікбұрышты $ABC$ үшбұрышындағы $\angle C$ бұрышының биссектрисасы $AB$ гипотенузасын $D$ нүктесінде қияды, ал $M$ нүктесі — $AD$ кесіндісінің ортасы. $A$ және $F$ нүктелері $CD$ түзуінің әртүрлі жағында жататындай етіп, бір қабырғасы $CD$ болатын $CDEF$ шаршысы салынған. $\angle ACM=\angle FAC$ екенін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №36. Натурал $a$, $b$, $c$ сандары үшін $a^2=b^3+ab$ және $c^3=a+b+c$ теңдіктері орындалса, $a=bc$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада