Nurdaulet Akhanov

Задача №1.

Задача B. Делимость

Ограничение по времени:

1 секунда

Ограничение по памяти:

256 мегабайт

ОМА решил придумать свой признак делимости на 8. ОМА будет считать что число делится на 8 если существует перестановка цифр числа такая что новое число было без лидирующих нулей и число делится на 8. Вам надо сказать делится ли число на 8 по правилам ОМЫ.

Формат входного файла

В первой строке дано цело число $n$ $(1 \leq n \leq 10^3) $ - длинна числа. $\\$ Во второй строка дана строка состоящая из цифр $s$ - число которое надо проверить.

Формат выходного файла

Выведите YES если число делится на 8 по правилам ОМЫ иначе NO

Примеры:

Вход

2
23

Ответ

YES

Вход

3
101

Ответ

NO

Замечание

Перестановка числа х - это число, состоящее из тех же цифр, что и х, но в другом порядке. Например, числа, которые можно получить путем перестановки цифр числа 123: 132, 213, 231, 312, 321 В первом примере из числа 23 можно получить делящееся на 8 число 32, ответ YES. Во втором примере из числа 101 невозможно получить число делящееся на 8, ответ NO. $\\$ $\\$ Subtask 1: $(n \leq 100)$ $\\$ Subtask 2: $(n \leq 1000)$ ( Nurdaulet Akhanov )
комментарий/решение(10) олимпиада

Задача №2.

Задача C. Хан и массив

Ограничение по времени:

2 секунды

Ограничение по памяти:

512 мегабайт

Хан на день рождения получил массив из $n$ элементов. И начал с ним играться. Он взял каждый элемент и записал $m$ раз. Также у Хана есть любимое простое число $P$. Ему стало интересно, сколько существует подпоследовательностей, которые в сумме делятся на $P$. Помогите Хану узнать сколько таких подпоследовательностей.

Формат входного файла

В первой строке даны три целых числа $n$, $m$, $P$ через пробел — размер массива Хана; количество раз, которое он записывает каждое число в массиве; и простое число соответственно $(1 <= n <= 10^5, 1 <= m <= 10^9, 1 <= P <= 10^3)$. Во второй строке даны $n$ целых чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ — полученный Ханом массив на его день рождения $(1 <= a_i <= 10^9)$.

Формат выходного файла

Выведите одно число — количество подпоследовательностей, которые в сумме делятся на $P$. Так как это число может быть большим, выведите его остаток от деления на $1000000007$.

Система оценки

Подзадача 1 (10 баллов) — $ n <= 10^5$, $m <= 10^5,$ $P = 2 $. Подзадача 2 (10 баллов) — $ n * m <= 20$, $P <= 1000 $. Подзадача 3 (10 баллов) — $ n * m * P <= 10^6, $. Подзадача 4 (20 баллов) — $ n * m <= 250000$, $P <= 500 $. Подзадача 5 (50 баллов) — $ n <= 10^5$, $m <= 10^9$, $P <= 1000 $.

Пример:

Вход

3 2 5
3 7 4

Ответ

Замечание

Хан преобразует изначальный массив следующим образом. Пусть $a_1, a_2, ..., a_n$ будет изначальным массивом. И заведем пустой массив $b$. Один за одним, слева направо будем обрабатывать элементы массива $a$ и элемент $a_i$ припишем к $b$ ровно $m$ раз. Хан будет решать задачу над полученным массивом $b$. Подпоследовательность — последовательность, которая получается путем удаления нескольких, возможно ноль, элементов изначальной последовательности. В первом примере, массив $b$ будет выглядеть следующим образом: $3, 3, 7, 7, 4, 4$. Вот все $11$ подпоследовательности, сумма которых делится на $5$: $[3, 7]$, $[3, 7]$, $[3, 7]$, $[3, 7]$, $[3, 3, 4]$, $[3, 3, 4]$, $[3, 3, 7, 7]$, $[7, 4, 4]$, $[7, 4, 4], $[3, 7, 7, 4, 4], $[3, 7, 7, 4, 4]$. ( Nurdaulet Akhanov )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №3.

Задача C. Хан и массив

Ограничение по времени:

2 секунды

Ограничение по памяти:

512 мегабайт

Формат входного файла

Формат выходного файла

Система оценки

Пример:

Вход

3 2 5
3 7 4

Ответ

Замечание

Задача №4.

Задача A. Найдите все пары

Ограничение по времени:

1 секунда

Ограничение по памяти:

256 мегабайт

Дано простое $P$, натуральное $n$ и массив $a$ размера $n$. Назовем пару чисел хорошими если их произведение дает такой же остаток при делении на $P$ что и сумма. Более формально, если выполняется условие $x * y$ $mod$ $P = (x + y)$ $mod$ $P$ то пара $(x, y)$ считается хорошей. Найдите количество хороших пар в массиве.

Формат входного файла

В первой строке входного файла заданы два целых числа $n$ $(1 <= n <= 10^5)$ — количество чисел в массиве, $P$ $(2 <= P <= 10^9)$ — заданное простое число $P$. Во второй строке входного файла заданы $n$ чисел $a_i$ $(0 <= a_i <= 10^9)$ - $i$-число в массиве.

Формат выходного файла

Выведите одно целое число - количество хороших пар в массиве.

Система оценки

Данная задача содержит четыре подзадачи:

$1 <= n <= 1000, 2 <= p <= 1000$. Оценивается в $20$ баллов.
$1 <= n <= 1000, p = 2$. Оценивается в $20$ баллов.
$1 <= n <= 100000, 2 <= p <= 1000$. Оценивается в $20$ баллов.
$1 <= n <= 100000, 2 <= p <= 10^9$. Оценивается в $40$ баллов.

Примеры:

Вход

4 3
3 5 12 11

Ответ

Вход

3 5
1 2 7

Ответ

Замечание

Число называется простым если оно делится только на себя и на единицу. (например: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots $) Запись $a$ $mod$ $b$ обозначает взятие остатка от деления числа $a$ на $b$.

В первом тестовом примере подходят только 2 пары: $(3, 12), (5, 11)$ так как $(3 + 12)$ mod $3$ = $(3 * 12)$ mod $3$ и $(5 + 11)$ mod $3$ = $(5 * 11)$ mod $3$
{Во втором тестовом примере подходит только 1 пара: $(2 + 7)$ mod $5$ = $(2 * 7)$ mod $5$}

( Nurdaulet Akhanov )
комментарий/решение(8) олимпиада

Задача №5.

Задача C. Поиск медианы

Ограничение по времени:

3 секунды

Ограничение по памяти:

512 мегабайт

Дан массив чисел $a$ длинны $n$ и $q$ запросов. Каждый из запросов описывается числами $l$ и $r$. Для каждого из запросов нужно найти, какой будет медиана в массиве, если удалить числа из массива от $l$ до $r$.

Формат входного файла

В первой строке входных данных подаются 2 числа $n, q$ $(1 <= n, q <= 10^6)$ — количество чисел в массиве и количество запросов. Во второй строке входных данных подаются $n$ целых чисел $a_i$ $(1 <= a_i <= 10^9)$ — $i$-й элемент массива $a$. В последующих $q$ строках подаются по два целых числа $l, r$ $(1 <= l <= r <= n)$ — границы удаляемого отрезка. Гарантируется что в оставшемся массиве будет хотя бы один элемент.

Формат выходного файла

Для каждого запроса выведите ответ в отдельной строке, медиана оставшегося массива.

Система оценки

Данная задача содержит шесть подзадач:

$1 <= n <= 1000, 1 <= q <= 1000, 1 <= a_i <= 10^9$. Оценивается в $8$ баллов.
$1 <= n <= 100000, 1 <= q <= 100000, 1 <= a_i <= a_{i + 1} <= 10^9$. Оценивается в $9$ баллов.
$1 <= n <= 100000, 1 <= q <= 10000, 1 <= a_i <= 10^9$. Оценивается в $19$ баллов.
$1 <= n <= 100000, 1 <= q <= 100000, 1 <= a_i <= 100$. Оценивается в $15$ баллов.
$1 <= n <= 100000, 1 <= q <= 100000, 1 <= a_i <= 10^9$. Оценивается в $31$ баллов.
$1 <= n <= 500000, 1 <= q <= 1000000, 1 <= a_i <= 10^9$. Оценивается в $18$ баллов.

Пример:

Вход

Ответ

Замечание

Медианой массива длинны $n$ называется элемент который стоит на позиции $\frac{n+1}{2}$ в отсортированном виде. В первом примере, после проведения первой операции, удалится отрезок $[2, 1, 4]$ и останется $[1, 9]$. Так как длинна оставшегося массива равна $2$, позиция на которой попадает медиана равна $\frac{3}{2} = 1$. После проведения второй операции, удалится отрезок $[1]$ и останется $[2, 1, 4, 9]$. Так как длинна оставшегося массива равна $4$, позиция на которой попадает медиана равна $\frac{5}{2} = 2$. Вторым элементом в отсортированном оставшемся массиве будет $2$. После проведения третьей операции, удалится отрезок $[4, 9]$ и останется $[1, 2, 1]$. Так как длинна оставшегося массива равна $3$, позиция на которой попадает медиана равна $\frac{4}{2} = 2$. Вторым элементом в отсортированном оставшемся массиве будет $1$. ( Nurdaulet Akhanov )
комментарий/решение(1) олимпиада