Australia


Задача №1.  Пусть $n$ и $b$ — натуральные числа. Число $n$ назовем $b\,—\it{различимым}$, если существует такое множество из $n$ различных натуральных чисел, меньших $b$, что в нем нет двух различных подмножеств с одинаковой суммой элементов.
(а) Докажите, что число $8$ является $100\,$— различимым.
(б) Докажите, что число $9$ не является $100\,$— различимым. ( Australia )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Функции $f(x)$ и $g(x)$ заданы следующим образом: $f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x-4} + \cdots + \dfrac{1}{x-2018}$ и $g(x) = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x-5} + \cdots + \dfrac{1}{x-2017}.$ Докажите, что неравенство $|f(x) - g(x)| > 2$ выполняется для всех нецелых действительных $x$, удовлетворяющих условию $0 < x < 2018$. ( Australia )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Набор из $n$ квадратов на плоскости, называется трисвязным, если выполняются одновременно три условия:
(i) Все квадраты равны между собой.
(ii) Если два квадрата имеют общую точку $P$, тогда $P$ является вершиной каждого из них.
(iii) Каждый квадрат касается в точности трех других квадратов.
Сколько существует различных натуральных чисел $n$ из промежутка $2018 \le n \le 3018$, для которых найдется набор из $n$ квадратов, являющийся трисвязным? ( Australia )
комментарий/решение олимпиада