Warut Suksompong


Задача №1.  Найдите все последовательности $a_0, a_1, a_2, \ldots $, состоящие из натуральных чисел, такие что $a_0 \geqslant 2015$ и при всех натуральных $n\geqslant 1$ выполняются следующие условия:
(i) $a_{n+2}$ делится на $a_n$;
(ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$, где $s_{n+1} = a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\ldots +(-1)^{n+1}a_0.$ ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Пусть $n$ — натуральное число. Даны $2n$ различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных. Некоторые $n$ из этих $2n$ прямых покрашены синим, а оставшиеся $n$ прямых покрашены красным. Через $\mathcal B$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через $\mathcal R$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой. Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством $\mathcal B$ ровно $2n-1$ общих точек и с множеством $\mathcal R$ тоже имеет ровно $2n-1$ общих точек. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Прямая, проходящая через $D$, пересекает отрезок $AB$ и луч $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Окружность, описанная около треугольника $BXD$, пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABC$, вторично в точке $Z$, отличной от $B$. Прямые $ZD$ и $ZY$ пересекают $\omega$ вторично в точках $V$ и $W$ соответственно. Докажите, что $AB=VW$. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №4.  Найдите все натуральные $n$, для которых при любом целом $k$ существует такое целое $a$, что $a^3 + a - k$ кратно $n$. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  Пусть $S = \{ 1,2,\ldots, 2014\}.$ Для каждого непустого подмножества $T \subseteq S$ должен быть выбран один из его элементов в качестве его $\it представителя$. Найдите количество всех способов выбора представителей для всех непустых подмножеств $S$, обладающих свойством: если какое-либо подмножество $D \subseteq S$ является объединением попарно непересекающихся непустых подмножеств $A, B, C \subseteq S$, то представитель $D$ также является представителем по крайней мере одного из подмножеств $A, B, C.$ ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой, если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ так, чтобы выполнялось равенство $a-b+c-d+e=29$. Найдите все последовательности из $2017$ целых чисел $n_1,n_2,\ldots,n_{2017}$, удовлетворяющие условию: если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7.  Пусть $n$ — натуральное число. Пару $n$-ок целых чисел $(a_1,\ldots,a_n)$ и $(b_1,\ldots,b_n)$ назовем исключительной, если $$|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1. $$ Найдите наибольшее возможное количество попарно различных $n$-ок целых чисел, любые две из которых образуют исключительную пару. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение олимпиада