Методическая комиссия Эйлера


Задача №1.  В каждую клетку таблицы $2012 \times 2012$ вписан либо нуль, либо единица, причем в каждом столбце и каждой строке есть как нули, так и единицы. Докажите, что в этой таблице найдутся две строки и два столбца такие, что на концах одной из диагоналей образованного ими прямоугольника стоят нули, а другой — единицы. ( И. Рубанов, Методическая комиссия Эйлера )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  На стороне $AB$ треугольника $ABC$ с углом в $100 ^\circ$ при вершине $C$ взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $AP = BC$ и $BQ = AC$. Пусть $M$, $N$, $K$ — середины отрезков $AB$, $CP$, $CQ$ соответственно. Найдите угол $NMK$. ( М. Кунгожин, Методическая комиссия Эйлера )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN = 45^\circ$. ( А. Кузнецов, Методическая комиссия Эйлера )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, точка $E$ — на продолжении $BC$ за точку $C$, а точка $F$ — на продолжении $AC$ за точку $C$ так, что $CF = AD$ и $AC+EF = DE$. Найдите угол $BDE$. ( А. Кузнецов, Методическая комиссия Эйлера )
комментарий/решение(1) олимпиада