Р. Женодаров

Задача №1. Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение НОК(*,*,*) $-$ НОК(*,*,*) $=$ 2009 в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным? ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. В четырехугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна диагонали $AC$ и перпендикулярна стороне $AD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. На стороне $AD$ взята точка $K$ такая, что $AC = AK$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $BK$ в точке $M$. Найдите угол $ACM$. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №4. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$ такой, что $AD = AB+CD$. Оказалось, что биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $BC$. Докажите, что биссектриса угла $D$ также проходит через середину $BC$. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Олег и Сергей по очереди выписывают слева направо по одной цифре, пока не получится девятизначное число. При этом нельзя выписывать цифры, которые уже выписаны. Начинает (и заканчивает) Олег. Олег побеждает, если полученное число кратно 4, в противном случае побеждает Сергей. Кто победит при правильной игре? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №6. На отрезке $AB$ отмечена точка $M$. Точки $P$ и $Q $ — середины отрезков $AM$ и $BM$ соответственно, точка $O$ — середина отрезка $PQ$. Выберем точку $C$ так, чтобы угол $ACB$ был прямым. Пусть $MD$ и $ME$ — перпендикуляры, опущенные из точки $M$ на прямые $CA$ и $CB$, а $F$ — середина отрезка $DE$. Докажите, что длина отрезка $OF$ не зависит от выбора точки $C$. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №7. Дан остроугольный треугольник $ABC$. Высота $AA_1$ продолжена за вершину $A$ на отрезок $AA_2 = BC$. Высота $CC_1$ продолжена за вершину $C$ на отрезок $CC_2 = AB$. Найдите углы треугольника $A_2BC_2$. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №8. 200 человек стоят по кругу. Каждый из них либо лжец, либо конформист. Лжец всегда лжет. Конформист, рядом с которым стоят два конформиста, всегда говорит правду. Конформист, рядом с которым стоит хотя бы один лжец, может как говорить правду, так и лгать. 100 из стоящих сказали: «Я — лжец», 100 других сказали: «Я — конформист». Найдите наибольшее возможное число конформистов среди этих 200 человек. ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Разрешается вырезать из шахматной доски размером $20\times20$ любые $18$ клеток, а потом выставить на оставшиеся клетки несколько ладей, не бьющих друг друга. Какое наибольшее число ладей можно выставить таким образом? Ладьи бьют друг друга, если они стоят на одной горизонтали или вертикали доски и между ними нет вырезанных клеток. ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №10. Зрители оценивают фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычисляется как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени $T$ рейтинг был целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента $T$? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №11. Петя выбрал $10$ последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на $2016$? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №12. В ряд выложено $100$ монет. Внешне все монеты одинаковы, но где-то среди них лежат подряд $50$ фальшивых (а остальные— настоящие). Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые могут весить по-разному, но каждая фальшивая легче настоящей. Можно ли с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы $34$ настоящие монеты? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №13. Каждую клетку доски $7\times 7$ закрасили в один из девяти цветов. Известно, что у каждой клетки, не примыкающей к краю доски, есть соседи (по горизонтали, вертикали или диагонали) всех восьми цветов, не совпадающих с цветом этой клетки. Докажите, что клеток каждого из девяти цветов не меньше четырех. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №14. Имеется кубик, каждая грань которого разбита на 4 одинаковые квадратные клетки. Олег хочет отметить невидимыми чернилами 8 клеток так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей стороны. У Рустема есть детекторы. Если детектор помещен в клетку, чернила на ней делаются видимыми. Какое наименьшее число детекторов Рустем может поместить в клетки так, чтобы, какие бы клетки после этого Олег ни отметил, можно было определить все отмеченные клетки? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №15. На доске написано $n$ целых чисел, любые два из которых отличаются хотя бы на 3. Сумма квадратов двух наибольших из них меньше 500. Сумма квадратов двух наименьших из них также меньше 500. При каком наибольшем $n$ это возможно? ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №16. Замкнутая ломаная состоит из 1001 звена и такова, что никакие три ее вершины не лежат на одной прямой. Известно, что каждое ее звено, кроме, может быть, двух, пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов. Верно ли, что каждое из двух оставшихся звеньев тоже пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №17. Зелёный хамелеон всегда говорит правду, а коричневый хамелеон врёт, после чего зеленеет. В компании из 2019 хамелеонов каждый по очереди ответил на вопрос, сколько среди них сейчас зелёных. Ответами были числа 1, 2, 3, $\ldots,$ 2019 (в некотором порядке, не обязательно в указанном выше). Какое наибольшее число зелёных хамелеонов могло быть изначально? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада