қазақша
русскийМ. Иванов
Есеп №1. Жүк тиеушіде бір вагон және кішкене арба бар. Вагон 1000 кг жүкті, ал арба 1 кг жүкті көтере алады. Қоймада бірнеше (шектеулі), құм толтырылған қапшықтар бар. Олардың барлығының салмағы 1001 килограмнан артық, ал әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймадағы жатқан қапшықтардың қандай екеніне байланыссыз, жүк тиеуші, вагон мен арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құм тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №2. Жүк тиеушіде 8 кг жүкке және 9 кг жүкке арналған арбалар бар. Қоймада құм толтырылған бірнеше (шектеулі) қапшықтар жатыр. Осы қапшықтардың барлығының салмағы 17 килограмнан артық және әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймада қандай қапшықтардың жатқанына байланыссыз, жүк тиеуші осы екі арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құмды тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №3. Әрбір бала кем-дегенде бір карточка алатындай, $k$ балаға,$1\le k\le {{2}^{n}}$, 1-ден ${{2}^{n}}$-не дейін нөмірленген карточкалар таратылды. Карточкаларды тарату әдістерінің саны ${{2}^{k-1}}$-не бөлінетіні, алайда ${{2}^{k}}$-не бөлінбейтінін дәлелдеңіз. ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. $a$, $b$, $c$ сандары өзара жай, натурал сандар болсын. $x$, $y$, $z$ сандары үшін, $xa+yb+zc$ түрінде жазыла алмайтын ең үлкен натурал санды $g\left( a,b,c \right)$ деп белгілейік. $g\left( a,b,c \right)\ge \sqrt{2abc}$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №5. $a$ саны квадраттан бос болатындай, әрбір $n$ үшін $n!$ санын $a{{b}^{2}}$ түрінде көрсетейік. Кез-келген $\varepsilon > 0$ үшін, жеткілікті түрде үлкен $n$ үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз: ${{2}^{(1-\varepsilon )n}} < a < {{2}^{(1+\varepsilon )n}}$. ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №6. Екі нақты түбірі бар, $P\left( x \right)$ квадрат үшмүшесі, барлық $x$ үшін $P\left( {{x}^{3}}+x \right)\ge P\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ теңсіздігін қанағаттандырады. $P\left( x \right)$ үшмүшесінің түбірлерінің қосындысын табыңыз. ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №7. Жазықтықта $n$ нүкте белгіленген. Кез келген екі белгіленген нүктені қосатын кесіндіге орта перпендикуляр жүргізсе, онда оның бір жағында бір белгіленген нүкте, ал екінші жағында ${n-1}$ белгіленген нүкте жататыны, ал орта перпендикулярдың бойында ешқандай нүкте жоқ екені белгілі. $n$ санының ең үлкен мүмкін мәні қандай? ( М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада