қазақша
русскийАубекеров Д.
Задача №1. Докажите, что для неотрицательных чисел $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих условию $xy+yz+zx=3$, верно неравенство \[\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{z^2} + 3} \right) \geqslant 21\left( {x + y + z} \right) + 1.\] ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Сумма положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равна $3$. Докажите неравенство $\sqrt[3]{{\frac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}} \ge 1.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №3. Сумма обратных величин положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равна $1$. Докажите неравенство $\dfrac{b+c}{a+bc}+\dfrac{a+c}{b+ac}+\dfrac{b+a}{c+ab}\ge\dfrac{12}{a+b+c-1}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(7) олимпиада
Задача №4. Для положительных вещественных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство $ \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[5]{\dfrac{b}{c}}+\sqrt[7]{\dfrac{c}{a}}>\dfrac{5}{2}. $ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №5. Пусть $a,b,c$ — стороны треугольника с периметром 1, $S$ — площадь этого треугольника. Докажите неравенство \[\sqrt {\frac{{3a}}{{b + c - a}}} + \sqrt {\frac{{3b}}{{a + c - b}}} + \sqrt {\frac{{3c}}{{a + b - c}}} \le \frac{1}{{4S}}.\] ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №6. Положительные числа $a, b, c$ таковы, что $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geqslant 3$. Докажите, что $\dfrac{a^{3}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+c}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+a} \geqslant \dfrac{3}{2}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(7) олимпиада